2.   El conjunto de los números reales

Vamos a definir el conjunto de los números reales, R, en términos de qué sabemos hacer con sus elementos, y qué propiedades tienen.

Estas propiedades que vamos a presentar aquí se llaman axiomas y, por supuesto, no son todas las propiedades de los números reales sino las mínimas, y es que a partir de ellas se obtienen el resto de propiedades.

Es difícil que, si alguien nos pregunta, seamos capaces de dar una respuesta clara de qué es un número pero sí somos capaces de decir qué cosas podemos hacer con ellos.

En el conjunto de los números reales tenemos definidas varias operaciones. La primera que todos aprendemos es la suma.

Suma de números reales

La suma verifica, entre otras, las siguientes propiedades. Sean a, b y c números reales cualesquiera.

a) Propiedad asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c .

b) Propiedad conmutativa: a + b = b + a.

c) Existencia de elemento neutro: a + 0 = a.

d) Existencia de elemento opuesto: a + (- a) = 0 .

Estas cuatro propiedades se resumen diciendo que (R; + ) es un grupo abeliano o conmutativo.

Producto de números reales

Además de la suma también sabemos multiplicar números reales. Por el mismo motivo, se supone que sabemos dividir.

Mucho cuidado con esta afirmación. No estamos hablando de cómo se dividen números sino de que, supuesto conocido el producto de números, la división es la operación inversa. Ocurre lo mismo con la suma: no hemos dicho como se restan números reales pero, en teoría, restar un número es simplemente sumar el número cambiado de signo, es decir, sumar el opuesto.

Con el producto, dividir por un número a es multiplicar por el inverso, al que llamaremos 1  /   a  .

Sean a, b y c números reales. Entonces se verifican las siguientes propiedades.

5) Propiedad asociativa: a(bc) = (ab )c.

6) Propiedad conmutativa: ab = ba.

7) Existencia de elemento neutro: a1 = 1a.

8) Existencia de elemento inverso: Si a es distinto de 0 entonces a (1 / a) = 1